جواب کاردرکلاس صفحه 83 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۸۳ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت مقایسه بین نمودارهای **توابع لگاریتمی** $\mathbf{y = \log_{a} x}$ با پایه $\mathbf{a > ۱}$ را نشان می‌دهد. توابع لگاریتمی، وارون توابع نمایی هستند و همگی از نقطه $\mathbf{(۱, ۰)}$ می‌گذرند. 🪵 ### الف) شناسایی ضابطه‌ها **قانون مقایسه توابع لگاریتمی ($a>۱$)**: هر چه **پایه ($a$) بزرگتر** باشد، نمودار **کُندتر رشد می‌کند** و **بیشتر به محور $x$ نزدیک می‌شود** (یعنی برای $x>۱$، نمودار پایین‌تر است). * **انتخاب $x=۴$**: * $f(۴) = \log_{۲} ۴ = ۲$ * $g(۴) = \log_{۳} ۴ \approx ۱.۲۶$ * $h(۴) = \log_{۵} ۴ \approx ۰.۸۶$ **نتیجه تخصیص**: 1. **بالاترین نمودار (سبز)**: کمترین پایه $\mathbf{f(x) = \log_{۲} x}$ 2. **نمودار میانی (صورتی)**: پایه متوسط $\mathbf{g(x) = \log_{۳} x}$ 3. **پایین‌ترین نمودار (آبی)**: بزرگترین پایه $\mathbf{h(x) = \log_{۵} x}$ ### ب) نشان دادن نقاط روی نمودار متناظر نقطه $(x, y)$ روی نمودار $\log_{a} x$ قرار دارد اگر $\mathbf{y = \log_{a} x}$ یا $\mathbf{a^y = x}$. * **نقطه $(۵, ۱)$**: یعنی $\log_{a} ۵ = ۱ \implies a^۱ = ۵$. * **نمودار متناظر**: $\mathbf{h(x) = \log_{۵} x}$ (نمودار آبی) * **نقطه $(۹, ۲)$**: یعنی $\log_{a} ۹ = ۲ \implies a^۲ = ۹ \implies a = ۳$. * **نمودار متناظر**: $\mathbf{g(x) = \log_{۳} x}$ (نمودار صورتی) * **نقطه $(۱۶, ۴)$**: یعنی $\log_{a} ۱۶ = ۴ \implies a^۴ = ۱۶ \implies a = ۲$. * **نمودار متناظر**: $\mathbf{f(x) = \log_{۲} x}$ (نمودار سبز)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۸۳ حسابان یازدهم برای تطبیق، باید **نوع تابع** (نمایی یا لگاریتمی)، **جهت نمودار** (صعودی یا نزولی) و **نقاط کلیدی** (مجانب، عرض/طول از مبدأ) را بررسی کنیم. 🕵️ --- ### ۱. تحلیل ضابطه‌ها * **ضابطه (الف): $y = -۲^x + ۲$** * **نوع**: نمایی. * **تبدیل**: $y = ۲^x$ (صعودی) که نسبت به $x$ قرینه شده و ۲ واحد به بالا منتقل شده است. * **مجانب افقی**: $y = ۲$. * **عرض از مبدأ ($x=۰$)**: $y = -۲^۰ + ۲ = -۱ + ۲ = ۱$. (نقطه $(۰, ۱)$) * **ضابطه (ب): $y = \log_{۲} x + ۱$** * **نوع**: لگاریتمی. * **تبدیل**: $y = \log_{۲} x$ که ۱ واحد به بالا منتقل شده است. * **مجانب عمودی**: $x = ۰$. * **طول از مبدأ ($y=۰$)**: $\log_{۲} x + ۱ = ۰ \implies \log_{۲} x = -۱ \implies x = ۲^{-۱} = \frac{۱}{۲}$. (نقطه $(\frac{۱}{۲}, ۰)$) * **ضابطه (پ): $y = (\frac{۱}{۲})^{x - ۱}$** * **نوع**: نمایی. * **تبدیل**: $y = (\frac{۱}{۲})^x$ (نزولی) که ۱ واحد به راست منتقل شده است. * **مجانب افقی**: $y = ۰$. * **عرض از مبدأ ($x=۰$)**: $y = (\frac{۱}{۲})^{۰ - ۱} = (\frac{۱}{۲})^{-۱} = ۲$. (نقطه $(۰, ۲)$) --- ### ۲. تطبیق با نمودارها | نمودار | نوع و نقاط کلیدی | ضابطه متناظر | | :---: | :---: | :---: | | **نمودار سمت راست** (نزولی) | مجانب افقی $y=۲$. عرض از مبدأ $y=۱$. | **(الف) $y = -۲^x + ۲$** | | **نمودار وسط** (لگاریتمی) | مجانب عمودی $x=۰$. طول از مبدأ $x=\frac{۱}{۲}$. | **(ب) $y = \log_{۲} x + ۱$** | | **نمودار سمت چپ** (نمایی) | مجانب افقی $y=۰$. عرض از مبدأ $y=۲$. | **(پ) $y = (\frac{۱}{۲})^{x - ۱}$** |

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۸۳ حسابان یازدهم مفهوم **لگاریتم** ($\mathbf{\log_{b} a}$) برابر است با: "پایه ($b$) را به چه توانی برسانیم تا به عدد ($a$) برسیم؟" 💡 --- ### الف) $\log_{۹} ۸۱$ * **سؤال**: ۹ را به چه توانی برسانیم تا ۸۱ شود؟ * **محاسبه**: $۹^x = ۸۱ \implies ۹^x = ۹^۲ \implies x = ۲$ $$\mathbf{\log_{۹} ۸۱ = ۲}$$ --- ### ب) $\log_{\frac{۱}{۶}} \frac{۱}{۶}$ * **سؤال**: $\frac{۱}{۶}$ را به چه توانی برسانیم تا $\frac{۱}{۶}$ شود؟ * **قانون**: $\log_{b} b = ۱$ (زیرا $b^۱ = b$) $$\mathbf{\log_{\frac{۱}{۶}} \frac{۱}{۶} = ۱}$$ --- ### پ) $\log_{۲} ۸$ * **سؤال**: ۲ را به چه توانی برسانیم تا ۸ شود؟ * **محاسبه**: $۲^x = ۸ \implies ۲^x = ۲^۳ \implies x = ۳$ $$\mathbf{\log_{۲} ۸ = ۳}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۸۳ حسابان یازدهم تابع $\mathbf{y = \log_{\frac{۱}{۲}} x}$ **وارون** تابع $\mathbf{y = (\frac{۱}{۲})^x}$ است. تابع نمایی با پایه $\mathbf{۰ < a < ۱}$ نزولی است و وارون آن (لگاریتمی) نیز **نزولی** خواهد بود. ⬇️ ### ۱. رسم نمودار $y = \log_{\frac{۱}{۲}} x$ نمودار تابع وارون با **قرینه کردن** نمودار تابع اصلی نسبت به **خط $\mathbf{y=x}$** به دست می‌آید. * **نمودار اصلی ($y = (\frac{۱}{۲})^x$)**: * از $(۰, ۱)$ می‌گذرد. * مجانب افقی: $y = ۰$. * **نمودار وارون ($y = \log_{\frac{۱}{۲}} x$)**: * از **$(۱, ۰)$** می‌گذرد. * مجانب **عمودی**: $x = ۰$. **نتیجه رسم**: با قرینه کردن نقاط کلیدی نمودار نمایی نسبت به خط $y=x$، نمودار لگاریتمی نزولی به دست می‌آید. ### ۲. مقایسه نمودارها 1. **تقارن**: نمودارهای $\mathbf{y = (\frac{۱}{۲})^x}$ و $\mathbf{y = \log_{\frac{۱}{۲}} x}$ نسبت به خط $\mathbf{y=x}$ **متقارن** هستند (تعریف تابع وارون). 2. **دامنه و برد**: * $\text{دامنه } y = (\frac{۱}{۲})^x$: $\mathbb{R}$ / $\text{برد } y = (\frac{۱}{۲})^x$: $(۰, \infty)$ * $\text{دامنه } y = \log_{\frac{۱}{۲}} x$: $\mathbf{(۰, \infty)}$ / $\text{برد } y = \log_{\frac{۱}{۲}} x$: $\mathbf{\mathbb{R}}$ (دامنه هر کدام، برد دیگری است.) 3. **روند تغییر**: هر دو تابع در دامنه خود **نزولی اکید** هستند. 4. **نقاط عبور**: هر دو تابع از نقاط متقارن $(athbf{a}, athbf{b})$ و $(athbf{b}, athbf{a})$ می‌گذرند. به عنوان مثال، $(۰, ۱)$ و $(۱, ۰)$ نقاط عبور هستند.